“数学物理反问题”：专门研究“关系”，常跟工程师打交道

远者归来

19 日举行的上海市科技奖励大会上，一个摘得自然科学一等奖的项目，在许多人眼中属于 " 每个字都认识，但是不知道啥意思 " ——数学物理反问题的理论分析与数值算法。
这个项目因何获得如此分量的奖项？与我们的生活有何关联呢？记者采访项目负责人，复旦大学数学科学学院教授程晋，他也是上海市现代应用数学重点实验室主任。
从阿基米德，到疫情分析
翻开该项目的创新点介绍，有点 " 天书 "：系统研究了椭圆方程反问题的唯一性及稳定性。证明多边形声软障碍反演的唯一性、两维椭圆方程双系数反演的唯一性、证明拉普拉斯方程柯西问题的对数稳定性。率先提出并开展时间分数阶扩散方程的反问题研究。得到分数阶及扩散系数反演的唯一性、证明高维有理数分数阶的 Carleman 估计。构造了反问题新型数值算法并给出了误差分析。提出基于条件稳定性的正则化参数选取准则、构造多罚项的正则化方法以及用水平集方法反演介质不连续界面。


程晋教授近照
" 简而言之，我们研究的对象，主要是‘关系’，" 程晋教授说。数学自诞生那一天起，就是因现实生活需求而发展。这个世界上信息很多，有的是看得见的，有的是隐藏其后的，他所领衔的项目，聚焦的是包含一些特殊 " 关系 " 的数学模型，从看得见的信息中，获取看不见的信息。
解释这一项目时，程教授举阿基米德为例。古代有位国王，叫金匠造一顶纯金的皇冠，因怀疑里面掺有银子，便请阿基米德鉴定一下。当阿基米德进入浴盆洗澡时 , 水漫溢到盆外 , 于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来 , 赤身奔回家中 , 口中大呼 :" 我找到了。" 此后，他将这一流体静力学的基本原理，即物体在液体中减轻的重量 , 等于排去液体的重量 , 总结在他的名著《论浮体》中，后来以 " 阿基米德原理 " 著称于世。
" 这一研究过程中，寻找未知信息的唯一性和关于测量误差的稳定性，是关键，" 程教授说。而此次获奖的项目，正是在攀上了这两座 " 大山 "。据了解，相关理论已经在此次新冠病毒疫情的发展预估推演中建功。
跟工程师们打交道的数学问题
信息反演的数学问题，看似艰深，其实与我们的生活息息相关。例如，在计算机层析成像技术（CT 技术）、核磁共振数据计算分析、生命科学领域的离子通道识别、蛋白质结构测定、地球内部结构的探测技术、气候气象科学应用，以及装备制造业相关领域中，都可见其身影。
在工业界，无损探伤，材料定制、生产过程控制等领域中，此次获奖项目的理论研究，已经或正在发挥作用。
" 我们曾经与日本一家钢铁厂合作，用数学方式建立设备维修的评估数据体系，" 程教授介绍。当时钢铁厂设备都是在高温状态下运行，经过一定时间，需要其产生材料疲劳前进行停机检修维护。然而，如何在设备正常运转情况下，通过对外部观测测量数据的分析，获知是否需要检修？这个技术的精准性对企业而言十分关键。如果检修早了，成本上升影响生产；如果未能及时发现危险信号，检修晚了，很可能导致事故发生。
当时企业请来程晋教授带领的团队的同时，还请了计算物理等不同专业的三个小组共同攻关这一课题。最终，通过与企业工程师的充分沟通，程教授团队成为唯一达成目标的研究小组。在这一领域深耕几十年的他，身兼上海工业与应用数学学会理事长，用数学来解决其他学科的难点问题，也是他努力的方向，" 如今多方关注的人工智能研究，同样可以将对数学物理反问题的理论分析与数值算法的实践嵌入其中，" 他说。
" 我常开玩笑说，我们做的数学，主要是搞‘关系’的，可是研究数学的人，可能不是太会‘搞关系’，" 程晋教授笑言。他相信，全球经济发展、计算机技术的迅猛发展，数学理论与方法的不断扩充，都将使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，未来大有可为。
栏目主编：黄海华 本文作者：彭德倩 文字编辑：黄海华 图片编辑：朱瓅